Question

（2011•廣東模擬）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若數(shù)列{a_n} 滿足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，bnbn+1=

1

2

an+1

，當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，求證：①b2n＜b2n+1＜b2n-1(n∈N*)；②b1+b2+b3+…bn＞

2n+1

-1．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n，可得b=2n，16n²a-4nb=0，從而可得函數(shù)的解析式，利用數(shù)列{a_n} 滿足

1

an+1

=f′(

1

an

)，f′（x）=x+2n，結(jié)合疊加法，即可求得結(jié)論；
（2）先證明

bn+2

bn

=

2n+1

2n+3

，，從而有

b2n+1

b2n-1

=

4n-1

4n+1

＜1，可得b_2n+1＜b_2n-1；又b2n=

1

3

•

5

7

•…•

4n-3

4n-1

，b2n+1=

3

5

•

7

9

•…•

4n-1

4n+1

，從而結(jié)論成立；②由bnbn+1=

1

2

an+1

=

1

2n+1

得

1

bnbn+1

=2n+1，

1

bn+2bn+1

=2n+3，相減得bn+1=

1

2

(

1

bn+2

-

1

bn

)，再疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=2ax+b，由題意知b=2n，16n²a-4nb=0
∴a=

1

2

，b=2n，則f（x）=

1

2

x²+2nx，n∈N^*．             （2分）
∵數(shù)列{a_n} 滿足

1

an+1

=f′(

1

an

)，f′（x）=x+2n，
∵

1

an+1

=

1

an

+2n，∴

1

an+1

-

1

an

=2n，
∵a₁=4，

1

an+1

-

1

4

=2+4+…+2(n-1)=n2-n
∴

1

an

=(n-

1

2

)2
∴an=

4

(2n-1)2

   （6分）
（2）證明：①由b₁=1得b2=

1

3

，由bnbn+1=

1

2

an+1

=

1

2n+1

得

bnbn+1

bn+2bn+1

=

2n+3

2n+1

即

bn+2

bn

=

2n+1

2n+3

，∴

b2n+1

b2n-1

=

4n-1

4n+1

＜1，∴b_2n+1＜b_2n-1
由

bn+2

bn

=

2n+1

2n+3

及b₁=1，b2=

1

3

可得：b2n=

1

3

•

5

7

•…•

4n-3

4n-1

，b2n+1=

3

5

•

7

9

•…•

4n-1

4n+1

∵

4n-3

4n-1

＜

4n-1

4n+1

，∴b_2n＜b_2n+1（10分）
②由bnbn+1=

1

2

an+1

=

1

2n+1

得

1

bnbn+1

=2n+1，

1

bn+2bn+1

=2n+3
相減得bn+1=

1

2

(

1

bn+2

-

1

bn

)
由①知：b_n≠b_n+1
所以b1+b2+b3+…bn=1+

1

2

(

1

b3

-

1

b1

+

1

b4

-

1

b2

+…

1

bn+1

-

1

bn-1

)=1+

1

2

(-

1

b1

-

1

b2

+

1

bn+1

+

1

bn

)=-1+

1

2

(

1

bn+1

+

1

bn

)＞-1+

1 bn+1 1 bn

=

2n+1

-1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查放縮法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確放縮是關(guān)鍵．