Question

13．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₃+a₄=19．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，且S_n+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=λ（λ為常數(shù)），令c_n=b_n+1（n∈N^*）．求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式，列方程解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）求得S_n=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，求得c_n=b_n+1=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理可得所求和．

解答 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₃+a₄=19，
設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
可得a₁+d=5，3a₁+5d=19，
解得a₁=3，d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）S_n+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=λ（λ為常數(shù)），
可得S_n+$\frac{2n}{{2}^{n}}$=λ，
即有S_n=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1-λ+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-2=（n-2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
c_n=b_n+1=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=0•（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=0•（$\frac{1}{2}$）²+1•（$\frac{1}{2}$）³+2•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=0+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
可得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，注意運用方程思想，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．