Question

15．對于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”．若存在一個正整數(shù)k（2≤k≤n-1），若數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列{a_n}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列A：0，1，1，0，1，1，0．因?yàn)閍₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列{a_n}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；
（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列A一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（III）假設(shè)數(shù)列A不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)a_m后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a₄=1，求數(shù)列{a_n}的最后一項(xiàng)a_m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有2³=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數(shù)列{a_n}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{a_n}．
（III）由于數(shù)列{a_n}在其最后一項(xiàng)a_m后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{a_n}的末項(xiàng)a_m后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序?qū)��?yīng)相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序?qū)��?yīng)相等，經(jīng)過分析可得：a_m=a₄．

解答 解：（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”，10101． …．（3分）
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有2³=8種不同的情形．
若m=11，則數(shù)列{a_n}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{a_n}．所以，要使數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11．…．（8分）
（III）由于數(shù)列{a_n}在其最后一項(xiàng)a_m后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{a_n}的末項(xiàng)a_m后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，
使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序?qū)��?yīng)相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序?qū)��?yīng)相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序?qū)��?yīng)相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序?qū)��?yīng)相等．
此時考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列{a_n}中有兩個連續(xù)的五項(xiàng)恰按次序?qū)��?yīng)相等，從而數(shù)列{a_n}是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列{a_n}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序?qū)��?yīng)相等，從而a_m=a₄=1．…．（14分）

點(diǎn)評 本題考查了新定義、數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法、反證法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．