Question

【題目】已知圓錐曲線 E： ．
（I）求曲線 E的離心率及標準方程；
（II）設 M（x0 ， y0）是曲線 E上的任意一點，過原點作⊙M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8的兩條切線，分別交曲線 E于點 P、Q．
①若直線OP，OQ的斜率存在分別為k1 ， k2 ， 求證：k1k2=﹣ ；
②試問OP2+OQ2是否為定值．若是求出這個定值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由橢圓定義可知，曲線E是以 和 為焦點，長軸長為 的橢圓，
設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a、b、c．
∴ ， ，則 ，
∴橢圓的離心率 ，E的標準方程為 ．
（II）①證明：若過原點與⊙M相切的直線斜率存在設為k，
則切線方程為y=kx，∴ ，
整理得 ．
由題設可知k1 ， k2是以上關于k的一元二次方程的兩個實根，
∴ ，即 ．
②設 P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
當直線 O P，OQ的斜率存在時，
由①易得 ， ，
而 = = = =
當直線 O P或 OQ的斜率不存在時，圓 M與y軸相切，且圓 M也與x軸相切 P，Q是橢圓 E的兩個頂點，∴O P2+OQ2=a2+b2=36．
綜上所述：O P2+OQ2為定值36．
【解析】（I）由橢圓定義可知，曲線E是以 和 為焦點，長軸長為 的橢圓，即可得出．（II）①若過原點與⊙M相切的直線斜率存在設為k，則切線方程為y=kx，可得 ，整理得 ．由題設可知k1 ， k2是以上關于k的一元二次方程的兩個實根，利用根與系數的關系即可得出．②設 P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．當直線 O P，OQ的斜率存在時，由①易得 ， ，利用兩點之間的距離、根與系數的關系即可得出．當直線 O P，OQ的斜率不存在時直接驗證即可得出．