Question

一直線和直二面角的兩個(gè)面所成的角分別是α，β，則α+β的范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：這題可以從直線與平面的位置出發(fā)，分三種情況討論：
①如果它與兩個(gè)平面都相交，那么它和兩個(gè)平面的角，恰是直角三角形的兩個(gè)銳角．通過(guò)比較三角函數(shù)值，可以得到：α+β＜90°
②如果這直線與兩個(gè)半平面都平行，那么它與兩個(gè)面的角都是0°，故α+β=0°．
③如果它只與一個(gè)面垂直，那么它與一個(gè)面的角是90°，而與另一個(gè)面的角是0°，故α+β=90°．
解答：
①若此直線與兩個(gè)平面都相交，則：
設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，且設(shè)AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過(guò)A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點(diǎn)，過(guò)B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點(diǎn)．
在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點(diǎn)為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，∠ABC的正弦值=AC/AB，∠ABD的正弦值=AD/AB
∵AD＞AC，∴∠ABC＜∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
②當(dāng)AB與l平行時(shí)：α+β=0°
③當(dāng)AB與l垂直時(shí)：α+β=90°
綜上所述：0°≤α+β≤90°
故選D
點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間中的線面關(guān)系，直線與平面所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)考查空間想象能力和思維能力．