Question

一直線和直二面角的兩個面所成的角分別是α，β，則α+β的范圍是（　�。�

• A、[

  π

  2

  ，π)
• B、[0，

  π

  2

  )
• C、(0，

  π

  2

  ]
• D、[0，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：這題可以從直線與平面的位置出發(fā)，分三種情況討論：
①如果它與兩個平面都相交，那么它和兩個平面的角，恰是直角三角形的兩個銳角．通過比較三角函數(shù)值，可以得到：α+β＜90°
②如果這直線與兩個半平面都平行，那么它與兩個面的角都是0°，故α+β=0°．
③如果它只與一個面垂直，那么它與一個面的角是90°，而與另一個面的角是0°，故α+β=90°．

解答：解：
①若此直線與兩個平面都相交，則：
設(shè)線段AB夾在直二面角α-l-β內(nèi)，A∈α，B∈β，且設(shè)AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過A在α內(nèi)做AC垂直于l于C點，過B在β內(nèi)做BD垂直于l于D點．
在β內(nèi)做BE平行l(wèi)，在β內(nèi)做CE平行BD，交點為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，∠ABC的正弦值=AC/AB，∠ABD的正弦值=AD/AB
∵AD＞AC，∴∠ABC＜∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
②當(dāng)AB與l平行時：α+β=0°
③當(dāng)AB與l垂直時：α+β=90°
綜上所述：0°≤α+β≤90°
故選D

點評：本小題考查空間中的線面關(guān)系，直線與平面所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．