Question

【題目】已知函數(shù)，，且函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)恰好有三個零點，求的值及該函數(shù)的零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），零點為0，-2，2

【解析】

（1）由是偶函數(shù)，求出后可得；

（2）等式在上恒成立，可用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值；

（3）可換元，化為關(guān)于（）的方程，原函數(shù)有三個零點，即原方程有三個解，由對稱性（或偶函數(shù)）知是一個解，即是新方程的一個根，由此可求得，從而求得另外的根，即求得函數(shù)的零點．

（1）∵，

∴.

∵是偶函數(shù)，∴，∴.∴，∴.

（2）∵在上恒成立，∴.

令，，則，，∴.

（3）令，則，方程可化為，即，也即.

又∵方程有三個實數(shù)根，

∴有一個根為2，∴.∴，解得或.

由，得，由，得，

∴該函數(shù)的零點為0，-2，2.