Question

19．設公差為d的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=6，d∈Z，S_n的最大值為S₄．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{7}{{S}_{7n+7}}$，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＞-$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\fracblhellg{2}$n²-$（\fraczkopswq{2}-6）$n，由于S_n的最大值為S₄．可得d＜0，d∈Z，$\frac{\fracpvsszbv{2}-6}iprysus$∈[3.5，4.5]，解出即可得出．
（2）S_n=-n²+7n．可得：b_n=-$\frac{1}{7}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）解：S_n=6n+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\fracxlqrstn{2}$n²-$（\fracjtsqyzu{2}-6）$n，
∵S_n的最大值為S₄．
∴d＜0，d∈Z，$\frac{\fraceprponu{2}-6}cnlkonm$∈[3.5，4.5]，
解得d=-2．
∴a_n=6-2（n-1）=8-2n．
（2）證明：S_n=-n²+7n．
∴S_7n+7=-（7n+7）²+7（7n+7）=-49n（n+1），
b_n=$\frac{7}{{S}_{7n+7}}$=$-\frac{1}{7n（n+1）}$=-$\frac{1}{7}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=$-\frac{1}{7}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$-\frac{1}{7}$$（1-\frac{1}{n+1}）$＞-$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、二次函數的單調性、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．