Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₆+5b₂-2016，求整數(shù)q的值；
（2）若S_n+1-2S_n=2，試問數(shù)列{b_n}中是否存在一點(diǎn)b_k，使得b_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說明理由？
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)），證明數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜5b₂+a₈₈-180，借助于通項(xiàng)公式得到q的值．
（2）在（1）的條件下，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在一項(xiàng)b_k，使得b_，k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)P（P∈N，P≥2）項(xiàng)和，然后推理證明．
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)），要證明數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，只要分析通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可以得到．

解答 解：（1）由題意知a_n=2+（n-1）×2=2n，$_{n}=2{q}^{n-1}$，
∵S₃＜a₁₀₀₆+5b₂-2016，∴b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₆+5b₂-2016，
∴b₁-4b₂+b₃＜2012-2016，
∴q²-4q+3＜0，
解得1＜q＜3，又q為整數(shù)，
∴q=2．
（2）由S_n+1-2S_n=2，得S_n-2S_n-1=2，n≥2，
兩式相減得b_n+1-2b_n=0，n≥2，
∵等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∴q=2，
又n=1時(shí)，S₂-2S₁=2，∴b₁+b₂-2b₁=2，
解得b₁=2，∴$_{n}={2}^{n}$．
數(shù)列{b_n}中存在一點(diǎn)b_k，使得b_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項(xiàng)的和，
即b_k=b_n+b_n+1+b_n+2+…+b_n+p-1，
∵$_{n}={2}^{n}$，∴b_k＞b_n+p-1，∴2^k＞2^n+p-1，
∴k＞n+p-1，∴k≥n+p，（*）
又$_{k}={2}^{k}=_{n}+_{n+1}+_{n+2}+…+_{n+p-1}$=$\frac{{2}^{n}（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2^n+p-2ⁿ＜2^n+p，
∴k＜n+p，這與（*）式矛盾，
∴假設(shè)不成立，故數(shù)列{b_n}中不存在一點(diǎn)b_k，使得b_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項(xiàng)的和，
證明：（3）∵b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)），
∴b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
∴d=$\frac{{a}_{r}（q-1）}{s-r}$，∴${{a}_{r}（q-1）（q+1）={a}_{r}（q-1）•\frac{t-r}{s-r}}^{\;}$，
∵a_s≠a_r，∴b₁≠b₂，∴q≠1，
又a_r≠0，∴q=$\frac{t-r}{s-r}-1$，
∵t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)，
∴q是正整數(shù)，且q≥2，
對(duì)于{b_n}中的任一項(xiàng)b_i（這里只討論i＞3的情形），
有$_{1}={a}_{r}{{q}^{i-1}}_{\;}$=${a}_{r}+{a}_{r}（{q}^{i-1}-1）$=${a}_{r}+{a}_{r}（{q}^{i-1}-1）$
=${a}_{r}+{a}_{r}（q-1）（1+q+…+{q}^{i-2}$）
=${a}_{r}+[（（s-r）（1+q+…+{q}^{i+2}）+1）-1]d$，
由于（s-r）（1q+…+q^i-1）+1為正整數(shù)，
∴b_i一定是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求高，解題時(shí)要注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．