已知兩條直線相交,過其中任意一條直線上的一點作另一條直線的平行線,這些線是否都共面？為什么？

已知:a∩b=O,A∈b,A∈c,a∥c.

求證:a、b、c三點共面.

思路分析:證明多線共面,一般先選取兩條直線構(gòu)造一個平面,然后證明其他直線都在這個平面上.應用公理１及其推論,可以判定直線是不是在一個平面內(nèi).多線共面亦照此方法.

圖2-1-2

證法一:在直線c上取點B異于A,則A、B、O不共線.

∴A、B、O確定一平面,記為α.

∵A∈α,B∈α,O∈α,∴bα,cα.

∵a∥c,∴a與c確定一平面,記為β.

則O∈β,A∈β,B∈β.

∵過O、A、B三點只存在一個平面,

∴平面β即平面α.

∴aα.

∴a、b、cα,即三線共面.

證法二:∵a∥c,∴直線a、c確定平面β.

∴A∈β,O∈β.

∴bβ.

∴a、b、c三線共面.

  綠色通道:證明點或線共面問題是平面基本性質(zhì)的具體應用,其基本思路是先利用公理2及其推論確定一個平面,再證明其他點、線也在這個平面內(nèi).

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已知：a∩b＝O，A∈b，A∈c，a∥c．

求證：a、b、c三點共面．

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