Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（

2

3

，

2 6

3

）．F₁，F(xiàn)₂是左右兩個焦點，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂的面積為

24

13

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意易得a²和b²的方程組，解方程組可得；
（2）當(dāng)直線l無斜率時，不滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程由弦長公式易得k的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）由焦距為2可知c=1，∴a²-b²=1，①
由橢圓過點P（

2

3

，

2 6

3

）可得

4

9a2

+

24

9b2

=1，②
聯(lián)立①②解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由（1）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
當(dāng)直線l無斜率時，A（-1，-

3

2

），B（-1，

3

2

），|AB|=3，
直線l到F₂（1，0）的距離為2，此時△ABF₂的面積為

1

2

×3×2=3，不滿足題意；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
和橢圓方程聯(lián)立消y并整理可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
顯然有△＞0，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁•x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[( -8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

，
直線l到F₂（1，0）的距離為

|2k|

k2+(-1)2

=

2|k|

k2+1

，
∴△ABF₂的面積S=

1

2

×

12(k2+1)

3+4k2

×

2|k|

k2+1

=

24

13

，
整理可得105k⁴+73k²-36=0
解得k=±

3

3

，故l的方程為：x±

3

y+1=0

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及弦長公式和三角形的面積以及分類討論的思想，屬中檔題．