設(shè)函數(shù)f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)判斷函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an+1),n∈N*;
①求證:0<an<1;
②比較an與(e-1)an+1的大。

解:(1)函數(shù)f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2,∴H(x)=f(x)-g(x)=ex-(e-1)x-1
∴H′(x)=ex-(e-1),
令H′(x)=0,則x0=ln(e-1)
當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),H′(x)<0,H(x)在(-∞,x0)單調(diào)遞減
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),H′(x)>0,H(x)在(x0,+∞)單調(diào)遞增
故H(x)min=H(x0)=ex0-(e-1)x0-1=e-1-(e-1)ln(e-1)-1
令t=e-1>1,函數(shù)h(t)=t-tlnt-1,
因?yàn)閔′(t)=-lnt<0,所以函數(shù)h(t)=t-tlnt-1在(1,+∞)單調(diào)遞減,故h(t)≤h(1)=0,
又e-1>1,故H(x0)<0,從而H(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)①證明:因?yàn)閒(an)=g(an+1),即+1=(e-1)an+1+2,所以an+1=-1)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈(0,1)
1°當(dāng)n=1時(shí),a1∈(0,1)成立;
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),ak∈(0,1),則ak+1=-1)
∵ak∈(0,1),∴1<<e,∴0<<e-1
∴0<ak+1<1
綜上知,an∈(0,1);
②解:∵(e-1)an+1-an=-1-an,
考慮函數(shù)p(x)=ex-1-x(0<x<1)
∵p′(x)=ex-1>0,
∴p(x)在(0,1)上是增函數(shù)
故p(x)>p(0)=0
∴(e-1)an+1-an>0
∴(e-1)an+1>an
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),從而可求H(x)的最小值,證明最小值小于0,可得H(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)①由f(an)=g(an+1),可得an+1=-1),用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈(0,1);
②作差(e-1)an+1-an=-1-an,考慮函數(shù)p(x)=ex-1-x(0<x<1),證明p(x)在(0,1)上是增函數(shù),即可得到結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用,考查大小比較,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

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18、設(shè)函數(shù)f(x)=ex[x2-(1+a)x+1](x∈R),
(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線與直線y=x+4平行.求a的值;
(II)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex+aex(x∈R)是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=
-1
-1

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex
(I)求證:f(x)≥ex;
(II)記曲線y=f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))(其中t<0)處的切線為l,若l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,求S的最大值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2-x,記h(x)=f(x)+g(x).
(1)h′(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)y=h′(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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