Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=4，E為側面AB₁的中心，F(xiàn)為A₁D₁的中點．試計算：
（1）

BC

•

ED1

；
（2）

EF

•

FC1

．

Answer 1

分析：將正方體的從頂點A出發(fā)的三條棱對應的向量設為基底
（1）將

BC

，

ED1

用基底表示，將它們的數(shù)量積用基底的數(shù)量積表示利用數(shù)量積的運算律求出值．
（2）將

EF

， 

FC1

用基底表示，將它們的數(shù)量積用基底的數(shù)量積表示利用數(shù)量積的運算律求出值

解答：解：如圖，設

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
則|

a

|=|

c

|=2，|

b

|=4，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=0
（1）

BC

•

ED

1
=

b

•[

1

2

(

c

-

a

)+

b

]
=|

b

|2=4²=16；

（2）

EF

•

FC1

=[

1

2

（

c

-

a

）+

1

2

b

]•（

1

2

b+

a

）
=

1

2

（-

a

+

b

+

c

）•（

1

2

b

+

a

）
=-

1

2

|

a

|²+

1

4

|

b

|²
=2．

點評：本題考查利用向量的運算法則將未知的向量用已知向量表示從而將未知向量的數(shù)量積用已知向量的數(shù)量積表示．