Question

如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，，AB=2，若N為棱AB中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面NB₁C；
（2）求A₁C₁與平面NB₁C所成的角正弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接BC₁和CB₁交于O點(diǎn)，連ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O為BC₁的中點(diǎn)．又N為棱AB中點(diǎn)，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，又NO?平面NB₁C，AC₁?平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
∵N（0，0，0），，，，，
∴，
設(shè)平面NB₁C的法向量為n=（x，y，z），
∴，即，
令，得n=，
∵，
∴，
∴A₁C₁與平面NB₁C所成的角正弦值為．（13分）
分析：（1）求證：AC₁∥平面NB₁C，連接BC₁和CB₁交于O點(diǎn)，連ON．只需證明NO∥AC₁即可．
（2）求A₁C₁與平面NB₁C所成的角正弦值，利用空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，求數(shù)量積即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．