Question

10．已知$f（x）={sin^2}x+cosx，x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，則f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的值域即可．

解答 解：∵f（x）=sin²x+cosx=1-cos²x+cosx=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-1≤cosx-$\frac{1}{2}$≤0，
∴-1≤-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$≤0，
∴$\frac{1}{4}$≤-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$≤$\frac{5}{4}$，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．