Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx，2$\sqrt{3}$sinωx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+m（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，并過點（0，2）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，根據(jù)函數(shù)的恒成立問題的解決方法，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+m=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=cos2ωx+1+$\sqrt{3}$sin2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1 （其中ω＞0，m∈R），
∵f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
顯然滿足函數(shù)的圖象過點（0，2）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若對任意x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a，
則在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，函數(shù)的最大值減去最小值小于或等于a．
又在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故函數(shù)的最大值為2sin$\frac{π}{2}$+1=2+1=3；最小值為2sin$\frac{7π}{6}$+1=0，
故a≥3-0=3，即a的范圍為[3，+∞）．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性．還考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．