Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈[0，2]的最小值
（2）若對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；
（2）通過討論a的范圍，得到不等式，綜合解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+4的對稱軸為x=a，
當(dāng)a≤0時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（0）=4；
當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（a）=4-a²；
當(dāng)a≥2時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（2）=8-4a；
（2）對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，即y_max-y_min＜4
①當(dāng)a≤0時，f（x）_min=4，f（x）_max=8-4a，
∴8-4a-4＜4，∴a＞0不合題意
②當(dāng)0＜a＜1時，f（x）_min=4-a²，f（x）_max=8-4a，
∴8-4a-（-a²+4）＜4，0＜a＜4，∴0＜a＜1；
③當(dāng)1≤a≤2時，f（x）_min=4-a²，f（x）_max=4，
∴4-（-a²+4）＜4，∴-2＜a＜2，∴1≤a＜2；
④當(dāng)a≥2時，f（x）_min=f（2）=8-4a，f（x）_max=4
∴4-（8-4a）＜4，∴a＜2不合題意；
綜上所述：0＜a＜2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．