Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-（2-a）x-（2-a）lnx．．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，求解極值點(diǎn)，然后判斷求解極值即可．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，結(jié)合基本不等式或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-（2-a）x-（2-a）lnx，x＞0
∴$f'（x）=2x-（2-a）-\frac{2-a}{x}=\frac{{2{x^2}-（2-a）x-（2-a）}}{x}$，
因?yàn)閍=1，令$f'（x）=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}$=0得x=1或x=$-\frac{1}{2}$（舍去）…（3分）
又因?yàn)�，�?dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；x＞1時(shí)，f'（x）＞0
所以x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（1）=0…（6分）
（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，則2x²-（2-a）x-（2-a）＞0恒成立，
∴$a＞\frac{{-2{x^2}+2x+2}}{x+1}=6-2[{（x+1）+\frac{1}{x+1}}]$恒成立…（9分）
而當(dāng)x＞0時(shí)∵$[{（x+1）+\frac{1}{x+1}}]＞2$．
檢驗(yàn)知，a=2時(shí)也成立∴a≥2…（12分）
[或：令$g（x）=\frac{{-2{x^2}+2x+2}}{x+1}$，∴$g'（x）=\frac{-2x（x+2）}{{{{（x+1）}^2}}}$，∵x＞0，∴g'（x）＜0-----（9分）
所以，函數(shù)g（x）在定義域上為減函數(shù)
所以g（x）＜g（0）=2
檢驗(yàn)知，a=2時(shí)也成立∴a≥2…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．