Question

【題目】設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）

（1）當(dāng)時(shí)，證明在上單調(diào)遞減；

（2）若，且為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）小金同學(xué)在求解函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，設(shè)，，則，顯然有對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)為，有反函數(shù)，則的對(duì)稱(chēng)中心為，請(qǐng)問(wèn)小金的做法是否正確？如果正確，請(qǐng)給出證明，并直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的對(duì)稱(chēng)中心；如果錯(cuò)誤，請(qǐng)舉出反例，并用正確的方法直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的對(duì)稱(chēng)中心.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）若，的對(duì)稱(chēng)中心為；若，的對(duì)稱(chēng)中心為.

【解析】

（1）先將化簡(jiǎn)，再利用定義法證明單調(diào)性即可；

（2）由偶函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可得到a；

（3）利用（1）作為反例可知小金的做法是錯(cuò)誤的，分別討論和的情況，結(jié)合對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)可得.

（1）當(dāng)時(shí)，，

任取，且，

則，

由得，，即，又，

所以，即，故在上單調(diào)遞減；

（2）依題意，，由可得，，

整理可得，，解得；

（3）錯(cuò)誤，令，則，

顯然有對(duì)稱(chēng)中心，，

很明顯，沒(méi)有意義，

當(dāng)時(shí)，，

若，，則直線(xiàn)上每一個(gè)點(diǎn)都是的對(duì)稱(chēng)中心.

若，設(shè)的對(duì)稱(chēng)中心為，

則，由此可得，，，

即的對(duì)稱(chēng)中心為.