Question

過三角形OAB的重心G的直線L分別與邊OA，OB交于點P，Q，已知

OP

=m倍的

OA

，

OQ

=n倍的

OB

，則（　　）

• A、m+n=

  3

  2

• B、m+n=

  4

  3

• C、

  1

  m

  +

  1

  n

  =

  3

  2

• D、

  1

  m

  +

  1

  n

  =3

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，得

OG

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，進(jìn)而得到

GP

關(guān)于向量

OA

、

OB

的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件得

PQ

關(guān)于向量

OA

、

OB

的表達(dá)式，利用向量共線的條件列式，化簡整理可得本題的答案．

解答： 解：∵G是△OAB的重心，
∴點G在△OAB的中線OC上，且

OG

=

2

3

OC

，
∵

OC

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴

OG

=

2

3

×

1

2

（

OA

+

OB

）=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

，
∴

PQ

=

OQ

-

OP

=n

OB

-m

OA

，
又∵

GP

=

OP

-

OG

=（m-

1

3

）

OA

-

1

3

OB

，

GP

、

PQ

是共線向量
∴（m-

1

3

）×n=（-m）×（-

1

3

），
整理得

1

m

+

1

n

=3，
故選：D

點評：本題以三角形的重心為載體，求滿足條件的一個等式，著重考查了三角形重心的性質(zhì)和平面向量基本定理等知識，屬于基礎(chǔ)題．