Question

11．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{2e}$
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到（x²f（x））′=lnx，設(shè)x²f（x）=xlnx-x+c，根據(jù)f（e）=$\frac{1}{2e}$，求出c的值，從而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$⇒x²f′（x）+2xf（x）=lnx⇒（x²f（x））′=lnx，
設(shè)x²f（x）=xlnx-x+c，
∵f（e）=$\frac{1}{2e}$，故c=$\frac{e}{2}$，
∴x²f（x）=xlnx-x+$\frac{e}{2}$，
∴f（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{2x}^{2}}$（x＞0）；                      
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2x-xlnx-e}{{x}^{3}}$，
令h（x）=2x-xlnx-e，則h′（x）=1-lnx，
故h（x）在（0，e）遞增，（e，+∞）遞減，
而h（e）=0，故h（x）≤0，即f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）為減，f（x）在[1，e²]遞減，
故f（x）_max=f（1）=$\frac{e}{2}$-1，f（x）_min=f（e²）=$\frac{2e+1}{{2e}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．