Question

19．已知點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（6，-3），點(diǎn)P在直線3x-4y+3=0上，若滿(mǎn)足等式$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)P在直線3x-4y+3=0上，設(shè)P（x，$\frac{3x+3}{4}$），求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$，計(jì)算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$，代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0，化簡(jiǎn)并利用△＞0求出λ的取值范圍．

解答 解：由點(diǎn)P在直線3x-4y+3=0上，設(shè)P（x，$\frac{3x+3}{4}$），
則$\overrightarrow{AP}$=（x-2，$\frac{3x+3}{4}$-3），$\overrightarrow{BP}$=（x-6，$\frac{3x+3}{4}$+3），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+${（\frac{3x+3}{4}）}^{2}$-9=$\frac{1}{16}$（25x²-110x+57）；
又$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0，
∴$\frac{1}{16}$（25x²-110x+57）+2λ=0，
化簡(jiǎn)得25x²-110x+57+32λ=0，
根據(jù)題意△=（-110）²-4×25×（57+32λ）＞0，
解得λ＜2；
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2）．
故答案為：（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與判別式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．