11.已知橢圓C1與雙曲線C2具有相同的焦點F1,F(xiàn)2,A為C1與C2的一個公共點,△AF1F2為等腰三角形,設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1,e2,則( 。
A.e1e2=1B.e1e2=2C.e1+e2=2D.$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=2

分析 由題意畫出圖象,設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}=1$,根據(jù)圖象和條件、橢圓和雙曲線的定義列出方程,化簡后根據(jù)離心率公式變形即可得到答案.

解答 解:由題意畫出圖象:
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}=1$,
(a1,a2,b1,b2>0,a1>b1),
由圖可得,|AF1|>|AF2|,
因為△AF1F2的等腰三角形,所以由圖可得|AF1|=|F1F2|=2c,
由橢圓、雙曲線的定義得:|AF1|+|AF2|=2a1,|AF1|-|AF2|=2a2,
兩式相加得:2|AF1|=2a1+2a2=4c,
即a1+a2=2c,兩邊同除以c得:$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}=2$,
則$\frac{1}{\frac{c}{{a}_{1}}}+\frac{1}{\frac{c}{{a}_{2}}}=2$,所以$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{1}{{e}_{2}}=2$,
故選:D.

點評 本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、離心率計算公式,考查化簡、變形能力,屬于中檔題.

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