Question

5．平面內(nèi)有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），點(diǎn)C為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$取最小值時(shí)，求$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠ACB的值．
（3）在滿足（2）的條件下，設(shè)f（t）=t²+4t+m≥cos∠ACB在t∈[-4，4]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可設(shè)$\overrightarrow{OC}=（2k，k）$，而$\overrightarrow{CA}=（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}），\overrightarrow{CB}=（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$，從而表示出向量$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐標(biāo)，進(jìn)而求得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=5{k}^{2}-20k+12$，這樣便可得出k=2時(shí)$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，從而得到$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）根據(jù)（1）得到的$\overrightarrow{OC}$坐標(biāo)容易求得$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角余弦公式即可求得$cos∠ACB=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）由條件便可得到不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立，這樣△≤0，從而得出m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OP}=（2k，k）$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）$
=（1-2k，7-k）•（5-2k，1-k）
=（1-2k）（5-2k）+（7-k）（1-k）
=5k²-20k+12
=5（k-2）²-8；
∴k=2時(shí)，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取最小值，此時(shí)$\overrightarrow{OC}=（4，2）$；
（2）$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=（-3，5）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=（1，-1）$；
∴$cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
（3）根據(jù)條件，不等式${t}^{2}+4t+m+\frac{4\sqrt{17}}{17}≥0$在t∈[-4，4]上恒成立；
∴$△=16-4（m+\frac{4\sqrt{17}}{17}）≤0$；
解得$m≥4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$4-\frac{4\sqrt{17}}{17}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量減法的幾何意義，配方法求二次函數(shù)最值的方法，向量夾角的余弦公式．