Question

3．在一次考試中，5名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)绫硭�示�?table class="edittable"> 學(xué)生 AB C  DE  數(shù)學(xué)（x分） 89 91 93 95 97 物理（y分） 87 89 8992 93（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求物理分y關(guān)于數(shù)學(xué)分x的回歸方程；
（2）試估計(jì)某同學(xué)數(shù)學(xué)考100分時(shí)，他的物理得分；
（3）要從4名數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，以X表示選中的同學(xué)中物理成績(jī)高于90分的人數(shù)，試解決下列問(wèn)題：
①求至少選中1名物理成績(jī)?cè)?0分以下的同學(xué)的概率；
②求隨機(jī)變變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
（附：回歸方程：：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）根據(jù)回歸方程估計(jì)；
（3）依次計(jì)算X=0，1，2時(shí)的概率，列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{89+91+93+95+97}{5}=93$，$\overline{y}=\frac{87+89+89+92+93}{5}=90$．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）$=（-4）²+（-2）²+0+2²+4²=40．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（-4）×（-3）+（-2）×（-1）+0+2×2+4×3=30．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{30}{40}=0.75$，$\stackrel{∧}{a}$=90-0.75×93=20.25．
∴物理分y關(guān)于數(shù)學(xué)分x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.75x+20.25．
（2）當(dāng)x=100時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=0.75×100+20.25=95.25分．
（3）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2．
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
①至少選中1名物理成績(jī)?cè)?0分以下的同學(xué)的概率為P=P（X=0）+P（X=1）=$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$．
②X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{1}{6}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的解法，古典概型的概率計(jì)算，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題．