Question

12．如果關(guān)于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個正根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． -2＜a＜2
• B． $\sqrt{3}＜a≤2$
• C． $-\sqrt{3}＜a≤2$
• D． $-\sqrt{3}≤a≤2$

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一個正根?（1）當(dāng)方程只有一個根，且為正根，（2）當(dāng)方程有兩個根①方程的兩個根中只有一個正根，一個復(fù)根或零根，②若方程有兩個正根，結(jié)合二次方程的根的情況可求．

解答 解：∵△=a²-4（a²-3）=12-3a²
（1）當(dāng)方程只有一個根時，△=0，此時a=±2，
若a=2，此時方程x²-2x+1=0的根x=1符合條件，
若a=-2，此時方程x²+2x+1=0的根x=-1不符舍去；
（2）當(dāng)方程有兩個根時，△＞0可得-2＜a＜2
①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負根或零根，則有a²-3≤0，解可得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
a=-$\sqrt{3}$時，方程x²-ax+a²-3=0沒有正根，舍去，
故-$\sqrt{3}$＜a≤$\sqrt{3}$符合條件
②若方程有兩個正根，則 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-3＞0}\end{array}\right.$，解可得a＞$\sqrt{3}$，
綜上可得，-$\sqrt{3}$＜a≤2
故選：C．

點評 本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．