Question

10．已知函數f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）求證：當x∈（1，2）∪（2，+∞）時，f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，利用導數，求函數的導數，然后，判斷函數的單調性進行求解，
（Ⅱ）當x∈（1，2）∪（2，+∞）時，f（x）＞2等價于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，也就是證$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{-2ln（x-1）+x-\frac{x}{x-1}}{（x-2）^{2}}$
設h（x）=-2ln（x-1）+x-$\frac{x}{x-1}$，
則h′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+4}{（x-1）^{2}}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）是增函數，又h（2）=0，
∴當x∈（1，2）時，h（x）＜0，
則f′（x）＜0，f（x）是單調遞減函數；
當x∈（2，+∞）時，h（x）＞0，
則f′（x）＞0，f（x）是單調遞增函數．
綜上知：f（x）在（1，2）單調遞減函數，f（x）在（2，+∞）單調遞增函數．
（Ⅱ）當x∈（1，2）∪（2，+∞）時，f（x）＞2等價于$\frac{xln（x-1）}{x-2}$-2＞0，
也就是證$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0                          
設G（x）=ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2，G′（x）=$\frac{（x-2）^{2}}{（x-1）{x}^{2}}$≥0          
∴G（x） 在（1，+∞）單調遞增函數，又G（2）=0
∴當x∈（1，2）時，G（x）＜0，
則$\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
當x∈（2，+∞）時，G（x）＞0，
則 $\frac{x}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{4}{x}$-2]＞0
綜上可得：當x∈（1，2）∪（2，+∞）時，f（x）＞2．

點評 本題重點考查函數的單調性與導數，求導法則、求導公式及其運用，屬于中檔題，難度中等．