Question

17．某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇．
方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為$\frac{4}{5}$，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束，若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得1000元；若未中獎，則所獲得獎金為0元．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為$\frac{2}{5}$，每次中獎均可獲得獎金400元．
（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；
（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
（II）利用數學期望計算公式、二項分布列的性質即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$P（{X=0}）=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，$P（{X=500}）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$，$P（{X=1000}）=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$，
所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列為

X	0	500	1000
P	$\frac{7}{25}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{25}$

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，選擇方案甲進行抽獎所獲得獎金X的均值$E（X）=500×\frac{2}{5}+1000×\frac{8}{25}=520$，
若選擇方案乙進行抽獎中獎次數ξ～B$（3，\frac{2}{5}）$，則$E（ξ）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$，
抽獎所獲獎金X的均值E（X）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
故選擇方案甲較劃算．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、數學期望計算公式、二項分布列的性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．