Question

10．已知α是△ABC的一個內角，且$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求$\frac{{sinxcosx+{{sin}^2}x}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）α是三角形的一個內角，利用$sinα+cosα=\frac{1}{5}$∈（0，1），可知此三角形是鈍角三角形．
（Ⅱ）已知等式記作①，將已知等式左右兩邊平方，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關系sin²x+cos²x=1化簡，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化簡（sinx-cosx）²，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，并將2sinxcosx的值代入，開方得到sinx-cosx的值，記作②，可得出cosx-sinx的值；聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解得到sinx與cosx的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切求出tanx的值，將sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化簡后即可求出所求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）解：∵α是三角形的一個內角，
∴sinα＞0，
又$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinα•cosα=-$\frac{24}{25}$＜0，sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α為鈍角，
∴此三角形是鈍角三角形．
（Ⅱ）∵0＜x＜π，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$①，
∴（sinx+cosx）²=$\frac{1}{25}$，即sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∴2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-sin2x=$\frac{49}{25}$，
∴sinx-cosx=$\frac{7}{5}$②，
則cosx-sinx=-$\frac{7}{5}$；
聯(lián)立①②解得：sinx=$\frac{4}{5}$，cosx=-$\frac{3}{5}$，
∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\frac{4}{3}$，
則 $\frac{{sinxcosx+{{sin}^2}x}}{1-tanx}$=$\frac{\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）-（\frac{4}{5}）^{2}}{1-（-\frac{4}{3}）}$=-$\frac{12}{25}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．