(2013•杭州二模)已知雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)
,A,B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).P是雙曲線上的一點(diǎn),且與點(diǎn)B在雙曲線的同一支上.P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是Q,若直線AP,BQ的斜率分別是k1,k2,
且k1•k2=-
4
5
,則雙曲線的離心率是( 。
分析:設(shè)P(m,n),則Q(-m,n),利用直線的斜率公式算出k1、k2關(guān)于m、n、a的式子,得到關(guān)于m、n、a的等式并利用雙曲線方程化簡得-
a2
b2
=-
4
5
,化簡可得a=
2
3
c,即可算出雙曲線的離心率.
解答:解:設(shè)P(m,n),則Q(-m,n)
∵A、B是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)
的兩個(gè)頂點(diǎn),
∴A(0,-a),B(0,a),
可得AP斜率k1=
n+a
m
,BQ的斜率k2=
n-a
-m

∴k1•k2=
n+a
m
n-a
-m
=-
4
5
,即
a2-n2
m2
=-
4
5

∵點(diǎn)P(m,n)在雙曲線上,可得m2=b2(
n2
a2
-1)=
b2
a2 
(n2-a2)
,
a2-n2
m2
=
a2-n2
b2
a2 
(n2-a2)
=-
4
5
,即-
a2
b2
=-
4
5

由此可得5a2=4b2=4(c2-a2),解之得a=
2
3
c.
∴雙曲線的離心率是e=
c
a
=
3
2

故選:C
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線的斜率公式和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.
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72

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1+i
i
+
i
1+i
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