Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程；
（2）拋物線C上一點(diǎn)A（x₀，4），是否存在直線m與軌跡C相交于兩不同的點(diǎn)B，C，使△ABC的垂心為H（8，0）？若存在，求直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，可求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線m的方程是y=x+b，由

y2=4x y=x+b

，消去x得y²-4y+4b=0，由AC⊥BH，得

AC

•

BH

=(x1-8)•(x2-4)+y1(y2-4)=0，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程為y²=4x；…（4分）
（2）由已知得A（4，4），直線AH的斜率為-1，由直線m的斜率為1，
設(shè)直線m的方程是y=x+b，由

y2=4x y=x+b

，消去x得y²-4y+4b=0，
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=4，y₁•y₂=4b，由△＞0，得b＜1ks5u
由AC⊥BH，得

AC

•

BH

=(x1-8)•(x2-4)+y1(y2-4)=0，
即x₁•x₂-4x₁-8x₂+y₁•y₂-4y₁+32=0，
所以

y 2 1 • y 2 2

16

-4(y1-b)-8(y2-b)+y1•y2-4y1+32=0，
即

y 2 1 • y 2 2

16

+y1•y2-8(y1+y2)+12b+32=0，得b²+16b=0，ks5u
解得b=0或b=-16，當(dāng)b=0時(shí)，直線m的方程是y=x，過點(diǎn)A（4，4），不合，
所以存在這樣的直線m，其方程是y=x-16．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：拋物線定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，依據(jù)圓錐曲線定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是常用的求軌跡方程的方法，當(dāng)已知中有直線與圓錐曲線相交時(shí)，常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)條件求結(jié)論