Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）g（x）=（x-3）e^x-m（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在x₁∈（0，2），對(duì)任意x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）極值點(diǎn)處滿(mǎn)足兩條性質(zhì)：①是函數(shù)值，因此坐標(biāo)滿(mǎn)足解析式；②導(dǎo)數(shù)為零．
（2）易知，這是兩個(gè)函數(shù)的最值比較問(wèn)題，只需f（x₁）_min≥f（x₂）_max，然后再分別求出該函數(shù)在（0，2）上的最小值，[2，3]上的最大值即可．最后解關(guān)于m的不等式（組）即可．

解答： 解：
（1）x∈（0，+∞）．f′(x)=a+

2a

x2

-

6

x

=

ax2-6x+2a

x2

，
∵函數(shù)f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2處取得極值
∴f'（2）=0，即 

a×22-6×2+2a

4

=0，解得a=2
所以a=2．
（2）由（1）知，f（x）=2x-

4

x

-6lnx，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x2

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上減函數(shù)；
所以f（x）在（0，2）上的最大值為f（1）=-2．
因?yàn)間（x）=（x-3）e^x-m，所以g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
所以g（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，其值域?yàn)閇-e²-m，-m]
若存在x₁∈（0，2），對(duì)任意x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≥0成立
即f（x）_max≥g（x）_max，也就是-2≥-m，
即m≥2．

點(diǎn)評(píng)：這是一道典型的利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，確定極值，求最值的問(wèn)題，此類(lèi)題要充分利用數(shù)形結(jié)合思想輔助分析、解決問(wèn)題；而題目最終是將兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較作為落腳點(diǎn)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，需要認(rèn)真辨析才行；最后強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)定義域優(yōu)先的原則．