Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸切于點（3，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，命題p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1為假命題，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得關(guān)于a，b的方程，解得即可，
（2）命題p為假命題等價于p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題，即g（x）=-x³+3cx，可得|g（1）-g（-1）|≤1，再根據(jù)g（x）的單調(diào)性可得|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，解得即可

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸切于點（3，0）．
∴f′（3）=0，f（3）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3a+b=0}\\{27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-5，b=9，
∴f（x）=x³-5x²+9x，
經(jīng)檢驗函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸切于點（3，0）．
（2）命題p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|＞1為假命題等價于p：?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1為真命題，
∵g（x）+f（x）=-6x²+（3c+9）x，
∴g（x）=-x³+3cx，
∵?x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤1，
∴|g（1）-g（-1）|≤1，
即|6c-2|≤1，解得$\frac{1}{6}$≤c≤$\frac{1}{2}$，
又∵g′（x）=-3x²+3c，
∴g（x）在[-1，-$\sqrt{c}$]，[$\sqrt{c}$，1]內(nèi)為減函數(shù)，在[-$\sqrt{c}$，$\sqrt{c}$]內(nèi)為增函數(shù)，
∵g（x）是奇函數(shù)，且|g（1）-g（-1）|≤1，
∴只需要|g（$\sqrt{c}$）-g（-$\sqrt{c}$）|≤1，
則4c$\sqrt{c}$≤1，
∴c≤$\frac{\root{3}{4}}{4}$
綜上所述c的取值范圍為[$\frac{1}{6}$，$\frac{\root{3}{4}}{4}$]

點評 本題考查了導數(shù)和幾何意義以及導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及四種命題的關(guān)系，考查了學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于難題