Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x-1，cosx）$，$\overrightarrow n=（1，-2cosx）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心；
（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（A）=0，b=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們可以求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心，
（2）先求出A的值，再根據(jù)三角形的面積和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-2$=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-2$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈Z$．
令$2x-\frac{π}{6}=kπ$，可得$x=\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$，
所以函數(shù)f（x）的對稱中心為$（{\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ，-2}）（k∈Z）$．
（2）∵f（A）=$2sin（{2A-\frac{π}{6}}）-2=0$，
∴$sin（{2A-\frac{π}{6}}）=1$，
∵A∈（0，π）
∴$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{3}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}，b=1$，
∴c=4，
由余弦定理${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA=1+16-2×1×4×\frac{1}{2}=13$，
∴$a=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦型函數(shù)的圖象和性，以及三角形的面積公式和余弦定理，屬于中檔題