Question

7．如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點．
（1）求證：DM∥平面ABC；
（2）求證：CM⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點N，連接MN，BN，利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得DM∥BN，再利用線面平行的判定定理可得：DM∥平面ABC．
（Ⅱ）先證明DM⊥平面ACE，從而證出CM⊥平面ADE，進而證出CM⊥DE．

解答 證明：（Ⅰ）如圖示：取AC的中點N，連接MN，BN
∵M是AE的中點，∴MN∥CE，CE=2MN，
∵CE∥BD，CE=2BD，
∴MN∥BD，MN=BD
∴四邊形BDMN為平行四邊形，
∴DM∥BN，DM?平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅱ）∵BN⊥AC，BN⊥MN，AC∩MN=N，
∴BN⊥平面ACE，
∵DM∥BN，∴DM平面ACE，
∴CM⊥DM，而CM⊥AE，DM∩AE=M，
∴CM⊥平面ADE，
∴CM⊥DE．

點評 本題考查了線面平行的判定定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．