Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  2e-5

  e-1

  ]
• B、（-∞，

  2e-2

  e

  ]
• C、（

  2e-2

  e

  ，2）
• D、[

  2e-5

  e-1

  ，

  2e-2

  e

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．
f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)(x- 2 2-a )

x

，x∈(0，e]，
當(dāng)x=

2

2-a

時，f′（x）=0，f（x）在x=

2

2-a

處取得最小值f(

2

2-a

)=a-2ln

2

2-a

，
由題意知，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，所以0＜

2

2-a

＜e，解得a＜

2e-2

e

，
所以對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
當(dāng)且僅當(dāng)a滿足條件f(

2

2-a

)≤0且f（e）≥1
因?yàn)閒（1）=0，所以f(

2

2-a

)≤0恒成立，由f（e）≥1解得a≤

2e-5

e-1

綜上所述，a的取值范圍是(-∞，

2e-5

e-1

]．
故選：A．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．