Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）判斷并證明，點F在棱DD₁上什么位置時，平面AC₁F∥平面BDE．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=0，連OE
∵O、E為別為AC、CC₁的中點
∴OE∥AC₁
又AC₁?平面BDE，OE?平面BDE
∴AC₁∥平面BDE
（Ⅱ）點F在棱DD₁的中點時，平面AC₁F∥平面BDE．
證明：∵點F為棱DD₁中點，E為CC₁的中點．
∴DF∥C₁E 且DF=C₁E=CC₁
∴DFC₁E為平行四邊形
∴FC₁∥DE，F(xiàn)C₁?平面BDE，DE?平面BDE
∴FC₁∥平面BDE，又AC₁∥平面BDE
且FC₁∩AC₁=C₁
∴平面AC₁F∥平面BDE
分析：（I）先利用三角形中位線定理證明OE∥AC₁，再利用線面平行的判定定理證明所證結(jié)論；
（2）先判斷點F的位置為DD₁的中點，再利用線面平行的判定定理證明FC₁∥平面BDE，最后結(jié)合（I），利用面面平行的判定定理證明兩面平行
點評：本題主要考查了長方體中的線面關(guān)系，線面平行的判定定理及其應(yīng)用，面面平行的判定定理及其應(yīng)用，第（II）問屬探究型題，有一定難度