設(shè)E,F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點,在正方體的12條面對角線中,與截面A1ECF成60°角的對角線的數(shù)目是(  )
A.0B.2 C.4 D.6
C

分析:先把六個面分為三組,在一組組的進行研究,找到直線與截面法向量的夾角即可得到結(jié)論.

解:首先,把六個面分成三組,AA1D1D和BB1C1C對截面的關(guān)系是一樣的,其他四個是一樣的,
以點D為原點,AD所在直線為X軸,DC所在直線為Y軸,DD1所在直線為Z軸,
設(shè)正方體棱長為2;
則A(2,0,0),D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0),
F(0,1,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2,),C1(0,2,2),D1(0,0,2);
=(-2,1,0),=((0,1,2),=(-2,2,0),=(-2,-2,0),=(-2,0,-2),=(0,-2,-2);=(0,2,-2)
因為要想面對角線截面A1ECF成60°角,需要直線與法向量的夾角為30度,即其余弦值為±
設(shè)截面A1ECF的法向量為=(x,y,z),
??=(1,2,1),且||=,
因為cos<>===≠±;
cos<,>==-,
cos<,>=≠±
cos(,>==-;
cos<,>=≠±;
再看AA1D1D這個面里,
AD1與EF平行,不是,
所以,一共四條.
故選:C.
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A.2B.-2C.-2或D.2或-

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