Question

在直角坐標(biāo)系xOy中
（1）以原點(diǎn)為圓心的圓O與直線x-

3

y=4相切．求圓O的方程；
（2）從點(diǎn)A（4，4）引圓的切線，切點(diǎn)為B，求切線長|AB|的值；
（3）P（x，y）是圓O上任意一點(diǎn)，求 x-2y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線與圓相切可得，圓心（0，0）到直線x+2y-4=0的距離d=r，從而可求r，進(jìn)而可求圓的方程．
（2）利用A到圓心的距離與圓的半徑，切線長滿足勾股定理，求出切線長．
（3）設(shè)出圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入x-2y，通過三角代換，求出求值范圍．

解答：解：（1）設(shè)所求的圓的方程為：x²+y²=r²
∵直線x-

3

y=4與圓相切
圓心（0，0）到直線x-

3

y=4的距離d=

|-4|

1+(- 3 )2

=2=r
所求的圓的方程為：x²+y²=4．
（2）從點(diǎn)A（4，4）引圓的切線，所以|AO|=

(4-0)2+(4-0)2

=4

2

，圓的半徑為：2，
切點(diǎn)為B，切線長|AB|=

(4 2 )2-22

=

28

=2

7

．
（3）圓的方程為：x^₂+y^₂=4，設(shè)圓上的任意點(diǎn)為（2cosα，2sinα），α∈R，
所以x-2y=2cosα-4sinα=2

5

cos（α+θ），tanθ=

1

2

，
cos（α+θ）∈[-1，1]．
所以2

5

cos（α+θ）∈[-2

5

，2

5

]．
x-2y的取值范圍：[-2

5

，2

5

]．

點(diǎn)評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線長的求法，三角代換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．