Question

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求證：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求證：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的乘積式和對(duì)應(yīng)角相等，得到兩個(gè)三角形相似，由相似得到對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，角進(jìn)行等量代換，得到要證的結(jié)論．
（2）根據(jù)第一問所得的結(jié)果和對(duì)頂角相等，得到兩個(gè)三角形相似，根據(jù)三角形相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例，把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，再根據(jù)相交弦定理得到比例式，等量代換得到結(jié)果．
解答：證明：（1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．
即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，
∴DE•EA=CE•EB．
∴CE•EB=EF•EP．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，考查兩條直線平行的性質(zhì)定理，考查相交弦定理，是一個(gè)比較簡單的綜合題目．