Question

19．求與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$共焦點，且過點（-2，$\sqrt{10}$）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1（a＞0），代入點的坐標(biāo)，即可求得結(jié)論

解答 解：∵橢圓 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$的焦點為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
∴所求雙曲線的焦點為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1（a＞0），
把（-2，$\sqrt{10}$）代入，得：$\frac{10}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{9-{a}^{2}}$=1，
解得a²=5或a²=18（舍），
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查圓錐曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．