Question

4．如圖，有一塊半徑為2的半圓形空地，計劃綠化成等腰梯形ABCD形狀的草坪，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，設草坪ABCD的周長為y．
（1）若CD=2，求草坪ABCD的面積；
（2）若CD=x，寫出y關于x的函數解析式，并求出它的定義域；
（3）當CD為何值時，y的值最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）連接圓心O與D，C可得OC，OD，利用勾股定理求出DE即等腰梯形ABCD的高，利用梯形面積公式可得答案．
（2）同理（1）可得y關于x的函數解析式，
（3）根據（2）中的解析式，利用二次函數的性質，配方求解其最大值．

解答 解：（1）連接圓心O與D，C，CD=2，可得△ODC是等邊三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}CD$=$\sqrt{3}$．
∴草坪ABCD的面積；$S=\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
（2）同（1）連接圓心O與D，C
可得△ODC是等腰三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
斜邊長為：$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
∴周長為y=4+x+2×$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
即y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$
定義域為：{x|0＜x＜4}．
（3）由（2）可得y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$，（0＜x＜4）
化簡可得：y=$-（\sqrt{4-x}）^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{4-x}+8$=$-（\sqrt{4-x}-\sqrt{2}）^{2}+10$
∴當x=2時，y取得最大值為10．

點評 本題考查了二次函數性質的運用在實際問題的運用能力和計算能力．屬于中檔題．