Question

已知同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）稱為“A型函數(shù)”．
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x²-x+1，（x＞0）是否是“A型函數(shù)”；
（2）若函數(shù)g（x）=-x³是“A型函數(shù)”，求出滿足②的區(qū)間[a，b]中a，b的值；
（3）若h（x）=

x

-t“A型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)該函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)“A型函數(shù)”的概念，得到

f(a)=b f(b)=a

，且（a＜b），
然后，確定a，b的值；（3）根據(jù)h（x）=

x

-t“A型函數(shù)”，結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)性，得到

h(a)=a h(b)=b

，且（a＜b），從而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-x+1，（x＞0）
在（0，

1

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
故它不是“A型函數(shù)”；
（2）∵函數(shù)g（x）=-x³是“A型函數(shù)”，
在R上單調(diào)遞減，則滿足：

f(a)=b f(b)=a

，且（a＜b），
∴

-a3=b -b3=a

，
∴

a=-1 b=1

．
（3）∵若h（x）=

x

-t“A型函數(shù)”，
它在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴

h(a)=a h(b)=b

，且（a＜b），
∴

a -t=a b -t=b

，
則方程m²-m+t=0在[0，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴

△=(-1)2-4t＞0 t≥0

，
∴0≤t＜

1

4

，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍[0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于信息給予題，題目信息量較大，綜合考查了函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、最值、二次方程的根的判斷等知識(shí)，屬于難題，解題關(guān)鍵就是如何準(zhǔn)確理解給定的有效信息．