Question

1．如圖，過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）左焦點F₁的直線交雙曲線左支于A，B兩點，C是雙曲線右支上一點，且A，C在x軸的異側(cè)，若滿足|OA|=|OF₁|=|OC|，|CF₁|=2|BF₁|，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 取雙曲線的右焦點F₂，連接CF₂，延長交雙曲線于D，連接AF₂，DF₁，由平面幾何的性質(zhì)可得四邊形F₁AF₂C為矩形，設(shè)|CF₁|=2|BF₁|=2m，運用雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合勾股定理，化簡可得3m=4a，代入方程結(jié)合離心率公式，即可得到所求．

解答 解：取雙曲線的右焦點F₂，連接CF₂，延長交雙曲線于D，
連接AF₂，DF₁，
由|OA|=|OF₁|=|OC|=|OF₂|=c，
可得四邊形F₁AF₂C為矩形，
設(shè)|CF₁|=2|BF₁|=2m，
由對稱性可得|DF₂|=m，|AF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，
即有|CF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，
由雙曲線的定義可得2a=|CF₁|-|CF₂|=2m-$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，①
在直角三角形DCF₁中，|DC|=m+$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$，|CF₁|=2m，
|DF₁|=2a+m，
可得（2a+m）²=（2m）²+（m+$\sqrt{4{c}^{2}-4{m}^{2}}$）²，②
由①②可得3m=4a，即m=$\frac{4a}{3}$，
代入①可得，2a=$\frac{8a}{3}$-$\sqrt{4{c}^{2}-\frac{64{a}^{2}}{9}}$，
化簡可得c²=$\frac{17}{9}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和平面幾何的性質(zhì)，主要是勾股定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．