Question

6．已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求參數(shù)θ的取值范圍，使函數(shù)f（x）的極小值大于零；
（Ⅱ）若對(duì)于（1）中的任意θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，判斷極小值，解大于0的不等式，即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間（-∞，0]與[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）內(nèi)都是增函數(shù)，由區(qū)間的包含關(guān)系得到a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x=0或x=$\frac{cosθ}{2}$．
當(dāng)cosθ＞0時(shí)容易判斷f（x）在（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，在[0，$\frac{cosθ}{2}$]上是減函數(shù)，
故f（x）在x=$\frac{cosθ}{2}$處取得極小值f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ．
由f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ＞0，可得0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
同理，可知當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）在x=0處取極小值f（0）=$\frac{3}{16}$cosθ＞0，即cosθ＞0，與cosθ＜0矛盾，
所以當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）的極小值不會(huì)大于零．
綜上，要使函數(shù)f（x）在R上的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)：
函數(shù)在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，則a需滿(mǎn)足不等式a≤0或2a-1≥$\frac{cosθ}{2}$
0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而可以解得a≤0或$\frac{4+\sqrt{3}}{8}≤a＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查三角不等式的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．