Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的圖象與x軸相切，若直線y=c與y=c+5依次交f（x）的圖象于A，B，C，D四點，且四邊形ABCD的面積為25，則正實數(shù)c的值為（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的圖象與x軸相切，可得：△=a²-4b=0，由四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5，結合韋達定理，構造關于c的方程，解方程可得答案．

解答 解：如圖示：
，
∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的圖象與x軸相切，
∴△=a²-4b=0，
設函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象與直線y=c交于A，B兩點，
即A，B兩點的橫坐標為方程：x²+ax+b-c=0的兩根，
故AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4b+4c}$=2$\sqrt{c}$，
設函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象與直線y=c+5交于C，D兩點，
同時可得：CD=2 $\sqrt{c+5}$，
此時四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，
S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5=（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$）×5，
即$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$=5，
解得：c=4，
故答案為：4．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，二次方程根與系數(shù)的關系，其中由韋達定理及四邊形ABCD是一個以AB，CD為兩底，高為5的梯形，構造關于c的方程是解答的關鍵．