15.已知極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸為正半軸,曲線C1的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1,直線l的直角坐標方程為x+y-4=0,曲線C2的極坐標方程為$ρ=\frac{1}{1-cosθ}$.
(Ⅰ)在曲線C1上求一點P,使得點P到直線l的距離最大;
(Ⅱ)過極點O作互相垂直的兩條直線分別交曲線C2于A,B和C,D四點,求|AB|+|CD|的最小值.

分析 (I)曲線C1的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1,可得參數(shù)方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),設P$(\sqrt{3}cosθ,sinθ)$,點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin(θ+\frac{π}{3})-4|}{\sqrt{2}}$,利用三角函數(shù)的單調性與值域即可得出.
(II)設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),C$({ρ}_{3},θ+\frac{π}{2})$,D$({ρ}_{4},θ+\frac{3π}{2})$.(θ∈(0,π)).代入化簡即可得出.

解答 解:(I)曲線C1的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1,可得參數(shù)方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),
設P$(\sqrt{3}cosθ,sinθ)$,點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin(θ+\frac{π}{3})-4|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$.
當$sin(θ+\frac{π}{3})$=-1,θ=$\frac{7π}{6}$+2kπ,k∈Z時取等號,此時$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cos\frac{7π}{6}}\\{y=sin\frac{7π}{6}}\end{array}\right.$,即P$(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$.
(II)設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),C$({ρ}_{3},θ+\frac{π}{2})$,D$({ρ}_{4},θ+\frac{3π}{2})$.(θ∈(0,π)).
∴ρ1=$\frac{1}{1-cosθ}$,ρ2=$\frac{1}{1-cos(θ+π)}$=$\frac{1}{1+cosθ}$,ρ3=$\frac{1}{1-cos(θ+\frac{π}{2})}$=$\frac{1}{1+sinθ}$,ρ4=$\frac{1}{1-cos(θ+\frac{3π}{2})}$=$\frac{1}{1-sinθ}$.
∴|AB|+|CD|=ρ1234=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1+cosθ}$+$\frac{1}{1+sinθ}$+$\frac{1}{1-sinθ}$
=$\frac{2}{1-co{s}^{2}θ}$+$\frac{2}{1-si{n}^{2}θ}$
=$\frac{2}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{2}{co{s}^{2}θ}$
=$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$≥8.
當且僅當θ=$\frac{π}{4}$時,|AB|+|CD|取得最小值8.

點評 本題考查了極坐標方程的應用、橢圓參數(shù)方程的應用、點到直線的距離公式、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的圖象與x軸相切,若直線y=c與y=c+5依次交f(x)的圖象于A,B,C,D四點,且四邊形ABCD的面積為25,則正實數(shù)c的值為( 。
A.4B.6C.2D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.在四面體ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M為AB中點,則CM與平面ABD所成角的正弦值為( 。
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.學校要了解學生對預防流行性感冒知識的了解情況,印制了若干份有10道題的問卷(每題1分)到各班做問卷調查.高一A、B兩個班各被隨機抽取5名學生進行問卷調查,A班5名學生得分(單位:分)為:4,8,9,9,10;B班5名學生得分(單位:分)為:6,7,8,9,10.
(1)請你估計A、B兩個班中哪個班的問卷得分要穩(wěn)定一些;
(Ⅱ)如果把B班5名學生的得分看成一個總體,并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本,求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值小于1的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.對于不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$<n+1(n∈N*),某學生用數(shù)學歸納法證明如下:
(1)當n=1時,$\sqrt{{1}^{2}+1}$<1+1,不等式成立;
(2)假設當n=k(k∈N*)時不等式成立,即$\sqrt{{k}^{2}+1}$<k+1,則當n=k+1時,$\sqrt{(k+1)^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$$<\sqrt{{k}^{2}+2k+2+2k+2}$=$\sqrt{(k+2)^{2}}$=(k+1)+1;所以當n=k+1時,不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$<n+1成立.
上述證明中( 。
A.n=1驗證不正確B.歸納假設不正確
C.從n=k到n=k+1的推理不正確D.證明過程完全正確

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.已知f(x)=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$(a>0),若對任意兩個不等的正實數(shù)x1,x2都有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$≥2恒成立,則a的取值范圍是(  )
A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.某單位進行了主題為“你幸福嗎”的幸福指數(shù)問卷調查,得到每個調查對象的幸福指數(shù)評分值(百分制).現(xiàn)從收到的調查表中隨機抽取20份進行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布表和頻率分布直方圖.
(Ⅰ)請完成題目中的頻率分布表,并補全題目中的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)該單位將隨機邀請被問卷調查的部分員工參加“幸福教育”的座談會.在抽樣統(tǒng)計的這20人中,已知幸福指數(shù)評分值在區(qū)間(80,100]的5人中有2人被邀請參加座談,求其中幸福指數(shù)評分值在區(qū)間(80,90]的僅有1人被邀請的概率.
幸福指數(shù)評分值頻數(shù)頻率
[50,60]
(60,70]
(70,80]
(80,90]3
(90,100]
合  計201

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥面ABCD,若PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD.
(1)求證:CD⊥平面PAC;
(2)側棱PA上中點E,求證:BE∥平面PCD;
(3)求二面角A-PD-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.已知拋物線y2=2px(p>0)過點(4,4),它的焦點F,傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l過點F且與拋物線兩交點為A,B,點A在第一象限內.
(1)求拋物線和直線l的方程;
(2)求|AF|:|BF|的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案