Question

已知函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x在x=1處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a=1．
（2）由f（x）=（x-2）e^x，得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．由f′（x）=0，得x=1，由此列表討論，能求出f（x）在[m，m+1]上的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x
由已知得f'（1）=0即（2a-2）e^x=0解得：a=1
當(dāng)a=1時(shí)，在x=1處函數(shù)f（x）=（x-2）e^x取得極小值，所以a=1．（4分）
（2）由f（x）=（x-2）e^x，
得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
由f′（x）=0，得x=1，
列表討論：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減		增

所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，m+1]單調(diào)遞增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m＜1＜m+1f（x）在[m，1]單調(diào)遞減，
在[1，m+1]單調(diào)遞增，f_min（x）=f（1）=-e．
當(dāng)m≤0時(shí)，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]單調(diào)遞減，
fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
綜上，f（x）在[m，m+1]上的最小值：
fmin(x)=

(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0

．（4分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．