Question

已知圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M是圓O上任意一點(diǎn)，直線AM與BC交于點(diǎn)P，CM交x軸于點(diǎn)N，設(shè)直線PM，PN的斜率分別為m，n．
（1）試求點(diǎn)M，N坐標(biāo)；
（2）求證：m-2n為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)M（s，t），P（x，y），由直線AM：y=m（x+1），BC：x+y=1，聯(lián)立兩方程得，P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．再由s²+t²=1，①m=

t

s+1

②求出M的坐標(biāo)，再由C，M，N共線，得到N的坐標(biāo)；
（2）由于直線PN的斜率為n，且P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．N（

1+m

1-m

，0）．運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理即可得到m-2n為定值1．

解答： （1）解：A（-1，0），B（1，0），C（0，1），設(shè)M（s，t），P（x，y），
則s²+t²=1，①
直線AM：y=m（x+1），BC：x+y=1，聯(lián)立兩方程得，
x=

1-m

1+m

，y=

2m

1+m

，即P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．
又m=

t

s+1

②
由①②解得，s=

1-m2

1+m2

，t=

2m

1+m2

，
設(shè)N（v，0），則由C，M，N共線，得

t-1

s

=

-1

v

，則v=

1-m2

1+m2-2m

=

1+m

1-m

，
故點(diǎn)M（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

），N（

1+m

1-m

，0）．
（2）證明：由于直線PN的斜率為n，且P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．N（

1+m

1-m

，0）．
則n=

2m 1+m

1-m 1+m - 1+m 1-m

=

m-1

2

，
故m-2n=1．即m-2n為定值1．

點(diǎn)評：本題考查直線方程和圓的方程及運(yùn)用，考查直線的斜率的公式，化簡整理的能力，屬于中檔題．