Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，$\overrightarrow{A{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，直線AF₁的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{12}$，長軸長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0）交橢圓C于不同的點(diǎn)E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B（0，-2）為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用直線的斜率，求出離心率，通過長軸長求解橢圓的幾何量，然后求解橢圓的方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理求出D的坐標(biāo)，然后求解BD的斜率，求解k的值．

解答 解：（1）F₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，$\overrightarrow{A{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，A（c，$\frac{^{2}}{a}$），
直線AF₁的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴$\frac{b^2}{2ac}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，$6{b^2}=\sqrt{3}ac$，$6（{a^2}-{c^2}）=\sqrt{3}ac$，$6{c^2}+\sqrt{3}ac-6{a^2}=0$，
$6{e^2}+\sqrt{3}e-6=0$，$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，2a=8，∴a=4，$c=2\sqrt{3}$，∴b²=4，∴$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．…（5分）
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}-16=0\\ y=kx+\frac{3}{2}\end{array}\right.$，消去y，可得${x^2}+4{（{kx+\frac{3}{2}}）^2}-16=0$，
（1+4k²）x²+12kx-7=0，${x_1}+{x_2}=\frac{-12k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{7}{{1+4{k^2}}}$，
中點(diǎn)$D（{-\frac{6k}{{1+4{k^2}}}，\frac{3}{{2（1+4{k^2}）}}}）$，…（9分）
由題意${k_{BD}}=-\frac{1}{k}$，
∴$\frac{{-2-\frac{3}{{2（1+4{k^2}）}}}}{{\frac{6k}{{1+4{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}$，$\frac{{2+\frac{3}{{2（1+4{k^2}）}}}}{{\frac{6k}{{1+4{k^2}}}}}=\frac{1}{k}$，${k^2}=\frac{5}{16}$，$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．